a) Calcolo della forza elettromotrice (f.e.m.) di movimento indotta e verso della corrente.
Forza Elettromotrice (f.e.m.) indotta
Quando una sbarra conduttrice di lunghezza $d$ si muove con velocità $v$ perpendicolarmente a un campo magnetico uniforme $B$, si induce una f.e.m. ai suoi capi. La formula per la f.e.m. indotta ($\varepsilon$) è:
$$
\varepsilon = B \cdot d \cdot v
$$
Questa equazione deriva dalla legge di Farady-Neumann-Lentz e sostituendo l'area ricoperta dalla sbarra come $d\cdot x$, in questo moto quando andiamo a dividere il flusso magnetico per il tempo otteniamo $Bxd/t$ ovvero $Bdv$
Sostituendo i valori dati:
$$
\varepsilon = (0.80\ \text{T}) \cdot (0.25\ \text{m}) \cdot (0.15\ \text{m/s})
$$
$$
\varepsilon = 0.030\ \text{V}
$$
Verso della corrente indotta (Regola della mano destra o Legge di Lenz)
Regola della mano destra (per conduttore in movimento):
- Punta l'indice nella direzione del campo magnetico ($B$). Poiché il campo è uscente, punta l'indice fuori dal foglio/schermo.
- Punta il medio nella direzione del movimento del conduttore ($v$). La sbarra si muove verso destra.
- Il pollice indicherà la direzione della f.e.m. indotta (e quindi della corrente convenzionale).
Applicando la regola: se il campo è uscente (fuori dal foglio) e la velocità è verso destra, il pollice indicherà verso il basso. Quindi, la corrente indotta scorrerà nella sbarra dal punto superiore al punto inferiore. Nel circuito esterno, scorrerà in senso orario (passando per il resistore da destra a sinistra, se il resistore è posto a destra della sbarra come nel disegno).
Legge di Lenz: La legge di Lenz afferma che la corrente indotta fluisce in una direzione tale da opporsi alla variazione del flusso magnetico che l'ha generata.
- Quando la sbarra si muove verso destra, l'area del circuito chiuso (sbarra + binari + resistore) aumenta.
- Poiché il campo magnetico è uscente (punti), l'aumento dell'area causa un aumento del flusso magnetico uscente.
- Per opporsi a questo aumento del flusso magnetico uscente, la corrente indotta deve creare un campo magnetico entrante.
- Per creare un campo magnetico entrante, la corrente nel circuito deve fluire in senso orario.
- Quindi, nella sbarra, la corrente scorrerà verso il basso.
L'intensità della corrente indotta $I$ può essere calcolata con la legge di Ohm:
$$
I = \frac{\varepsilon}{R}
$$
$$
I = \frac{0.030\ \text{V}}{4.0\ \Omega}
$$
$$
I = 0.0075\ \text{A}
$$
b) Determinazione della forza esterna necessaria e verifica della potenza.
Forza magnetica frenante ($F_M$)
Quando una corrente $I$ scorre in un conduttore di lunghezza $d$ immerso in un campo magnetico $B$, su di esso agisce una forza magnetica ($F_M$). Questa forza è data da:
$$
F_M = I \cdot d \cdot B
$$
Sostituendo i valori:
$$
F_M = (0.0075\ \text{A}) \cdot (0.25\ \text{m}) \cdot (0.80\ \text{T})
$$
$$
F_M = 0.0015\ \text{N}
$$
Per la Legge di Lenz, la forza magnetica si oppone al movimento. Se la sbarra si muove a destra, la forza magnetica sarà diretta verso sinistra, agendo come una forza frenante.
Forza esterna necessaria ($F_{est}$)
Per mantenere la sbarra in moto rettilineo uniforme (a velocità costante), la forza esterna applicata deve bilanciare esattamente la forza magnetica frenante. Quindi:
$$
F_{est} = F_M
$$
$$
F_{est} = 0.0015\ \text{N}
$$
La forza esterna necessaria è di $0.0015\ \text{N}$ e deve essere applicata nella direzione del movimento (verso destra).
Verifica della potenza (Potenza meccanica vs. Potenza dissipata per effetto Joule)
Potenza meccanica spesa ($P_{mec}$): La potenza meccanica spesa dalla forza esterna per mantenere il movimento è data da:
$$
P_{mec} = F_{est} \cdot v
$$
Sostituendo i valori:
$$
P_{mec} = (0.0015\ \text{N}) \cdot (0.15\ \text{m/s})
$$
$$
P_{mec} = 0.000225\ \text{W}
$$
Potenza elettrica dissipata per effetto Joule ($P_J$): La potenza dissipata per effetto Joule nel resistore è data da:
$$
P_J = I^2 \cdot R
$$
o alternativamente:
$$
P_J = \varepsilon \cdot I
$$
o
$$
P_J = \frac{\varepsilon^2}{R}
$$
Usiamo la prima forma:
$$
P_J = (0.0075\ \text{A})^2 \cdot (4.0\ \Omega)
$$
$$
P_J = (5.625 \times 10^{-5}\ \text{A}^2) \cdot (4.0\ \Omega)
$$
$$
P_J = 0.000225\ \text{W}
$$
Confronto
La potenza meccanica spesa ($P_{mec} = 0.000225\ \text{W}$) è uguale alla potenza elettrica dissipata per effetto Joule ($P_J = 0.000225\ \text{W}$).
Questo risultato conferma il principio di conservazione dell'energia: l'energia meccanica fornita per spostare la sbarra attraverso il campo magnetico si converte completamente in energia elettrica, che viene poi dissipata sotto forma di calore nel resistore a causa dell'effetto Joule.