Dati del problema
Prima di iniziare con l'analisi delle forze e delle equazioni, elenchiamo i dati forniti e le loro unità di misura, convertendole se necessario in unità del Sistema Internazionale (SI):
Massa della sbarra, $m = 250\,g = 0.250\,kg$
Angolo di inclinazione dei binari, $\theta = 20^\circ$
Resistenza del resistore, $R = 0.50\,\Omega$
Campo magnetico uniforme, $B = 1.2\,T$
Accelerazione di gravità, $g \approx 9.81\,m/s^2$
(valore standard di riferimento)
La lunghezza $l$ della sbarra non è fornita ma è un parametro del sistema che comparirà nell'espressione finale della velocità limite.
1. Analisi delle forze agenti sulla sbarra
Sulla sbarra agiscono tre forze principali:
Forza peso ($P$): dovuta alla gravità, diretta verticalmente verso il basso.
Reazione vincolare ($N$): forza esercitata dai binari, perpendicolare al piano inclinato.
Forza di Lorentz ($F_L$): dovuta all'interazione della corrente indotta nella sbarra con il campo magnetico, diretta in modo da opporsi al moto (legge di Lenz).
1.1. Forza Peso ($P$)
La forza peso è data dalla seguente equazione:
$P = m \cdot g$
dove:
$m$ è la massa della sbarra.
$g$ è l'accelerazione di gravità.
Dato che i binari sono inclinati, è utile scomporre la forza peso nelle sue componenti parallela e perpendicolare al piano inclinato.
Componente della forza peso parallela al piano inclinato:
$P_x = m \cdot g \cdot \sin(\theta)$
Componente della forza peso perpendicolare al piano inclinato:
$P_y = m \cdot g \cdot \cos(\theta)$
1.2. Reazione Vincolare ($N$)
La reazione vincolare è la forza che i binari esercitano sulla sbarra per impedirle di "cadere" attraverso di essi. È sempre perpendicolare alla superficie di contatto. Poiché non c'è accelerazione perpendicolare al piano inclinato, la reazione vincolare bilancia la componente perpendicolare della forza peso:
$N = P_y = m \cdot g \cdot \cos(\theta)$
1.3. Forza di Lorentz ($F_L$)
Quando la sbarra si muove sui binari, si crea una variazione di flusso magnetico attraverso l'area delimitata dalla sbarra e dai binari. Questa variazione di flusso induce una forza elettromotrice (f.e.m.) e di conseguenza una corrente nella sbarra. La forza di Lorentz agisce su questa corrente.
1.3.1. Forza Elettromotrice Indotta ($E$)
La f.e.m. indotta in una sbarra di lunghezza $l$ che si muove con velocità $v$ in un campo magnetico uniforme $B$ è data dalla legge di Faraday-Neumann-Lenz:
$E = B \cdot l \cdot v \cdot \sin(\phi)$
dove:
$B$ è il modulo del campo magnetico.
$l$ è la lunghezza della sbarra.
$v$ è la velocità della sbarra.
$\phi$ è l'angolo tra il vettore velocità e il vettore campo magnetico.
In questo caso, il campo magnetico è diretto verticalmente verso il basso. La sbarra si muove lungo i binari inclinati. L'angolo $\phi$ tra il vettore velocità $\vec{v}$ (lungo il piano inclinato) e il campo magnetico $\vec{B}$ (verticale verso il basso) sarà $90^\circ - \theta + 90^\circ = 180^\circ - \theta$. In un problema standard di binari inclinati con campo magnetico verticale, la componente del campo magnetico perpendicolare al piano di movimento della sbarra è $B_y = B \cdot \cos(\theta)$. La f.e.m. può essere scritta come:
$E = B \cdot l \cdot v \cdot \cos(\theta)$
1.3.2. Corrente Indotta ($I$)
La corrente indotta nel circuito è data dalla legge di Ohm:
$I = \frac{E}{R}$
Sostituendo:
$I = \frac{B \cdot l \cdot v \cdot \cos(\theta)}{R}$
1.3.3. Forza di Lorentz ($F_L$)
La forza di Lorentz su un conduttore di lunghezza $l$ percorso da corrente $I$ in un campo magnetico $B$ è data da:
$\vec{F}_L = I \cdot (\vec{l} \times \vec{B})$
$F_L = I \cdot l \cdot B$
Sostituendo:
$F_L = \frac{B^2 \cdot l^2 \cdot v \cdot \cos(\theta)}{R}$
La direzione della forza di Lorentz si oppone al moto. Dato che la sbarra scende lungo il piano inclinato, la forza di Lorentz sarà diretta verso l'alto lungo il piano inclinato.
2. Equazione del moto e velocità limite
La velocità limite $v_{lim}$ viene raggiunta quando la sbarra non accelera più, ovvero quando la somma vettoriale di tutte le forze agenti su di essa è zero. Quindi la risultante tra la forza di Lorentz e la componente parallela al piano della forza peso deve dare 0
$mgsin(\theta)=\frac{B^2\cdot l^2 \cdot v\cdot cos(\theta)}{R}$
Da cui possiamo ricavare la velocità limite $v$
$v=\frac{mgsin(\theta)\cdot R}{B^2 \cdot l^2 \cdot cos(\theta)}$