Circuito RL in serie
Dati del problema
Il problema fornisce i seguenti dati per un circuito RL in serie e ci viene chiesto di descrivere l’andamento temporale della corrente $i(t)$
e della differenza di potenziale ai capi dell’induttore $V_L(t)$
durante la fase di transitorio.
Dobbiamo inoltre:
- calcolare la corrente nell’istante immediatamente successivo alla chiusura dell’interruttore;
- determinare l’istante in cui la corrente raggiunge il $60\%$ della corrente massima di regime.
Andamento temporale della corrente $i(t)$
In un circuito RL in serie, quando l’interruttore viene chiuso,
la corrente non può cambiare istantaneamente a causa della presenza dell’induttore.
L’equazione differenziale del circuito è:
$\varepsilon - i(t)R - L\dfrac{di(t)}{dt} = 0$
Che si ricava dalla legge di Kirchoff delle maglie secondo cui la somma di tutti i potenziali in una maglia è uguale a 0 (uno è il potenziale indotto, uno è quello generato dalla resistenza e l'altro è generato dal generatore di tensione)
La soluzione dell’equazione differenziale, con condizione iniziale
$i(0)=0$, è:
$i(t)=\dfrac{\varepsilon}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right)$
dove $\tau$ è la costante di tempo del circuito RL:
$\tau=\dfrac{L}{R}$
Calcolo della costante di tempo
$\tau=\dfrac{2.1\text{ H}}{4.5\,\Omega}\approx0.467\text{ s}$
Corrente massima di regime
La corrente massima per $t\to\infty$ è:
$I_{\text{max}}=\dfrac{\varepsilon}{R}
=\dfrac{12.0\text{ V}}{4.5\,\Omega}
\approx2.67\text{ A}$
Quindi la corrente nel tempo è:
$i(t)=2.67\text{ A}\left(1-e^{-t/0.467\text{ s}}\right)$
La corrente parte da $0\text{ A}$ e cresce esponenzialmente
fino al valore massimo di regime.
Corrente nell’istante $t=0^+$
Nell’istante immediatamente successivo alla chiusura dell’interruttore,
l’induttore si oppone alla variazione istantanea della corrente.
Poiché prima della chiusura la corrente era nulla,
si ha:
$i(0^+)=0\text{ A}$
Questo si verifica anche sostituendo $t=0$ nella formula:
$i(0^+)=\dfrac{\varepsilon}{R}\left(1-e^{-0/\tau}\right)
=\dfrac{\varepsilon}{R}(1-1)=0$
Andamento temporale della tensione ai capi dell’induttore $V_L(t)$
La differenza di potenziale ai capi dell’induttore è:
$V_L(t)=L\dfrac{di(t)}{dt}$
Deriviamo la funzione della corrente:
$\dfrac{di(t)}{dt}
=
\dfrac{d}{dt}
\left[
\dfrac{\varepsilon}{R}
\left(1-e^{-t/\tau}\right)
\right]$
$=
\dfrac{\varepsilon}{R\tau}e^{-t/\tau}$
Poiché:
$\tau=\dfrac{L}{R}$
allora:
$\dfrac{di(t)}{dt}
=
\dfrac{\varepsilon}{L}e^{-t/\tau}$
Sostituendo nella formula di $V_L(t)$:
$V_L(t)
=
L\left(
\dfrac{\varepsilon}{L}e^{-t/\tau}
\right)
=
\varepsilon e^{-t/\tau}$
Numericamente:
$V_L(t)=12.0\text{ V}\,e^{-t/0.467\text{ s}}$
La tensione ai capi dell’induttore è inizialmente massima
e pari alla forza elettromotrice del generatore,
poi decresce esponenzialmente verso zero.
Istante in cui la corrente raggiunge il $60\%$ della corrente massima
Cerchiamo l’istante $t^*$ tale che:
$i(t^*)=0.60\,I_{\text{max}}$
Usiamo la formula della corrente:
$\dfrac{\varepsilon}{R}\left(1-e^{-t^*/\tau}\right)
=
0.60\dfrac{\varepsilon}{R}$
Dividendo entrambi i membri per $\dfrac{\varepsilon}{R}$:
$1-e^{-t^*/\tau}=0.60$
$e^{-t^*/\tau}=0.40$
Applichiamo il logaritmo naturale:
$-\dfrac{t^*}{\tau}=\ln(0.40)$
$t^*=-\tau\ln(0.40)$
Poiché:
$\ln(0.40)\approx-0.916$
si ottiene:
$t^*=-(0.467\text{ s})(-0.916)$
$t^*\approx0.428\text{ s}$
La corrente raggiunge il $60\%$ del valore massimo circa dopo:
$0.428\text{ s}$