Dati del problema
Il problema fornisce i seguenti dati:
- Lunghezza del solenoide:
$L = 15.0 \text{ cm} = 0.15 \text{ m}$ - Area della sezione trasversale del solenoide:
$A = 4.50 \times 10^{-4} \text{ m}^2$ - Autoinduttanza misurata:
$L_{ind} = 1.20 \text{ mH} = 1.20 \times 10^{-3} \text{ H}$ - Permeabilità magnetica del vuoto:
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T}\cdot\text{m/A}$ - Permeabilità magnetica relativa del materiale di riempimento:
$\mu_r = 500$
Derivazione della formula e calcolo del numero di avvolgimenti
L’autoinduttanza di un solenoide ideale è data dalla formula:
$L_{ind} = \dfrac{\mu_0 N^2 A}{L}$
Vogliamo ricavare la formula per il numero totale di avvolgimenti $N$.
Isoliamo $N$ dalla formula:
$N^2 = \dfrac{L_{ind} L}{\mu_0 A}$
$N = \sqrt{\dfrac{L_{ind} L}{\mu_0 A}}$
Ora sostituiamo i valori numerici:
$N = \sqrt{
\dfrac{
(1.20 \times 10^{-3}\text{ H}) \times (0.15\text{ m})
}{
(4\pi \times 10^{-7}\text{ T}\cdot\text{m/A}) \times (4.50 \times 10^{-4}\text{ m}^2)
}
}$
Calcolo del denominatore
$\mu_0 A =
(4\pi \times 10^{-7}) \times (4.50 \times 10^{-4})$
$\approx (12.566 \times 10^{-7}) \times (4.50 \times 10^{-4})$
$\approx 5.655 \times 10^{-10}\text{ T}\cdot\text{m}^3/\text{A}$
Calcolo del numeratore
$L_{ind}L =
(1.20 \times 10^{-3}) \times (0.15)$
$= 0.18 \times 10^{-3}$
$= 1.8 \times 10^{-4}\text{ H}\cdot\text{m}$
Calcolo finale di $N$
$N = \sqrt{
\dfrac{1.8 \times 10^{-4}}
{5.655 \times 10^{-10}}
}$
$= \sqrt{3.18 \times 10^5}$
$\approx 564$
Il numero totale di avvolgimenti è quindi:
$N \approx 564$
Variazione dell’autoinduttanza con un materiale di riempimento
Se il solenoide viene riempito con un materiale avente permeabilità magnetica relativa $\mu_r$,
la permeabilità magnetica all’interno del solenoide diventa:
$\mu = \mu_r \mu_0$
La formula dell’autoinduttanza diventa:
$L_{ind}' = \dfrac{\mu N^2 A}{L}
= \dfrac{\mu_r \mu_0 N^2 A}{L}$
Poiché:
$L_{ind} = \dfrac{\mu_0 N^2 A}{L}$
allora:
$L_{ind}' = \mu_r L_{ind}$
Sostituendo il valore $\mu_r = 500$:
$L_{ind}' = 500 \times (1.20\text{ mH})$
$L_{ind}' = 600\text{ mH} = 0.600\text{ H}$
Dunque, se il solenoide viene riempito con un materiale con permeabilità magnetica relativa
$\mu_r = 500$, il coefficiente di autoinduttanza aumenterebbe di un fattore pari a $\mu_r$,
diventando:
$0.600\text{ H}$ oppure $600\text{ mH}$
Le dimensioni geometriche e il numero di avvolgimenti restano invariati.