Per poter trovare l’energia di punto zero dobbiamo considerare l’oscillatore armonico unidimensionale (in poche parole un’onda che si muove in una sola dimensione) che la seguente hamiltoniana (autovalore dell’energia):
Da cui procediamo definendo l’operatore di costruzione a+ e l’operatore di distruzione a- che, applicati ad una funzione d’onda, indicano se l’energia della particella aumenta o diminuisce.
In questo modo procediamo moltiplicandoli tra loro ottenendo:
Moltiplichiamo ambo i membri per hω
Sostituendo i primi due termini del lato destro dell’equazione otteniamo la definizione di hamiltoniana mostrata precedentemente
Da cui possiamo ricavare l’hamiltoniana
Siccome l’hamiltoniana è l’autovalore dell’energia possiamo ricavare l’energia stessa moltiplicando ambo i membri per una funzione d’onda ψ
L’energia di punto zero deve essere il valore minimo che non può diminuire ulteriormente applicando operatori di distruzione perché il risultato sarebbe 0
Quindi abbiamo che per poter ricavare dall’equazione pasta porre E0 ψ0 basta porre a+a- =0 ottenendo
Quindi
