Per poter risolvere questo esercizio dobbiamo considerare la conservazione del momento angolare
$ΔL=0$
Quindi il momento angolare totale inziale è uguale al momento angolare totale finale.
$L_i=L_f$
Siccome stiamo considerando un sistema a due corpi dobbiamo fare la somma tra i momenti angolari dei due corpi
$L_{g_i}+L_{p_i}=L_{g_f}+L_{p_f}$
Dove $L_g$ è riferito al momento angolare della giostra mentre $L_p$ al momento angolare della persona
All'inizio la persona non sta ruotando, quindi il suo momento angolare inziale è 0 $L_{p_i}=0$
$L_{g_i}=L_{g_f}+L_{p_f}$
Sostituiamo i momenti come i prodotti tra il momento di inerzia e la velocità angolare
$I_gω_{g_i}=I_gω_{g_f}+I_pω_{p_f}$
La giostra ha la forma di un disco, quindi il suo momento di inerzia è:
$I_g=\frac{1}{2}m_gr^2$
La persona invece non ha una forma regolare, quindi il suo momento di inerzia ha la formula generale:
$I_p=m_pr^2$
Dopo aver saltato sulla giostra la persona fa lo stesso moto circolare della giostra, quindi il raggio $r$ presente nel momento di inerzia della persona è semplicemente il raggio della giostra che ruota insieme alla persona.
Sostituendo nell'equazione della conservazione del momento angolare otteniamo:
$\frac{1}{2}m_gr^2ω_{g_i}=\frac{1}{2}m_gr^2ω_{g_f}+\frac{1}{2}m_pr^2ω_{p_f}$
Inoltre alla fine la persona e la giostra ruotano insieme alla stessa velocità, quindi la velocità angolare finale della giostra è uguale alla velocità angolare finale della persona che scriviamo come $ω$
$\frac{1}{2}m_gr^2ω_{g_i}=\frac{1}{2}m_gr^2ω+\frac{1}{2}m_pr^2ω$
Per semplificare i calcoli dividiamo tutte e due i lati dell'equazione per $\frac{1}{2}r^2$
$m_gω_{g_i}=m_gω+m_pω$
Raccogliamo il termine ω al lato destro dell'equazione
$ω(m_g+m_p)=m_gω_{g_i}$
Da questa equazione ricaviamo la velocità angolare finale
$ω=\frac{m_gω_{g_i}}{m_g+m_p}=3,33$ $rad/s$