PRIMA DOMANDA
Al di fuori della sfera ad una distanza $r$ il potenziale elettrico è semplicemente:
$V=\frac{kQ}{r}$
SECONDA DOMANDA
Per trovare il potenziale all'interno della sfera dobbiamo considerare un raggio interno alla sfera $r$ più piccolo del raggio totale della sfera $R$ e a questo raggio più piccolo associamo una carica interna della sfera $q$
Per poter ricavare il potenziale interno possiamo prima calcolare il campo elettrico all'interno della sfera per poi ricavare il potenziale tramite la formula inversa
$V=\int_{r}^{R}{Edr}$
Il campo elettrico lo possiamo ricavare tramite il teorema di Gauss sapendo che il flusso di campo elettrico per una superfice chiusa è $Q/ε_0$
$\int{EdA}=\frac{q}{ε_0}$
Dove appunto $q$ è la carica interna alla sfera. Risolvendo l'integrale otteniamo
$\int{EdA}=E\int{dA}=E\cdot 4πr^2$
Quindi
$4πr^2E=\frac{q}{ε_0}$
La carica interna si può riscrivere come il prodotto tra densità di carica e volume della sfera interna
$q=ρ\cdot \frac{4}{3}πr^3$
Sostituendo nell'equazione di prima otteniamo:
$4πr^2E=\frac{4ρπr^3}{3ε_0}$
$E=\frac{ρr}{3ε_0}$
La densità di carica è uguale in ogni parte della sfera, quindi la possiamo anche scrivere come il rapporto tra la carica totale della sfera $Q$ e il volume totale
$ρ=\frac{Q}{V}=\frac{Q}{\frac{4}{3}πR^3}$
Sostituiamo questa nuova formula per la densità di carica nell'equazione del campo elettrico ottenendo:
$E=\frac{Qr}{4πε_0R^3}$
Sostituendo $1/4πε_0$ con la nota costante elettrica $k$ otteniamo
$E=\frac{kQ}{R^3}\cdot r$
Infine, per poter ricavare il potenziale elettrico sostituiamo questa espressione nell'integrale iniziale
$V=\int_{r}^{R}{\frac{kQ}{R^3}\cdot rdr}$
Portiamo fuori dall'integrale tutti i termini che non contengono $r$
$V=\frac{kQ}{R^3}\int_{r}^{R}{rdr}=\frac{kQ}{R^3}\cdot \frac{R^2-r^2}{2}$