Sulla superfice curva della sfera sappiamo che il campo elettrico prodotto dalla carica $Q$ è
$E=\frac{kQ}{R^2}$
Se poniamo che l'altezza della carica sia molto piccola rispetto a $R$ (quasi come si trovasse sulla superfice) la distanza tra la carica e i punti del guscio è circa $R$
Quindi possiamo calcolare il flusso semplicemente facendo il prodotto tra il campo elettrico e la superfice della mezza sfera
$Φ=E\cdot A=\frac{kQ}{R^2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 4πR^2$
$Φ=2kQπ$
Sostituendo $k=1/4πε_0$ otteniamo
$Φ=\frac{Q}{2ε_0}$
E questo è il flusso lungo la superfice curva, per ricavare il flusso lungo la superfice piana usiamo il teorema di Gauss. Infatti per il teorema di Gauss il flusso totale è nullo se non è presente nessuna carica all'interno della superfice, quindi la somma del flusso della superfice piana e della superfice curva deve fare 0
$Φ_{TOT}=0$
$Φ_p+Φ_c=0 → Φ_p=-Φ_c$
Quindi
$Φ_p=-\frac{Q}{2ε_0}$